Question

已知關于x的一元二次方程x²+（m-1）x-2m²+m=0（m為實數）有兩個實數根x₁、x₂．
（1）當m為何值時，x₁≠x₂；
（2）若x₁²+x₂²=2，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m為何值時x₁≠x₂，即方程有兩個不同的根，則根的判別式△＞0．
（2）依據根與系數關系，可以設方程的兩根是x₁、x₂，則可以表示出兩根的和與兩根的積，
依據x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到關于m的方程，即可求得m的值．
解答：解：（1）x²+（m-1）x-2m²+m=0（m為實數）有兩個實數根x₁、x₂．
∵a=1，b=m-1，c=-2m²+m，
∴△=b²-4ac=（m-1）²-4（-2m²+m）=m²-2m+1+8m²-4m=9m²-6m+1=（3m-1）²，
要使x₁≠x₂，則應有△＞0，即△=（3m-1）²＞0，
∴m≠；
（2）根據題意得：x₁+x₂=-=1-m，x₁•x₂==-2m²+m
∵x₁²+x₂²=2，即x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即（1-m）²-2（-2m²+m）=2，
解得m₁=，m₂=1．
點評：本題是常見的根的判別式與根與系數關系的結合試題．把求未知系數m的問題轉化為解方程問題是解決本題的關鍵．