Question

如圖，已知點P（-4，0），以點P為圓心PO長為半徑作圓交x軸于點A、O兩點．過點A作直線AC交y軸于點C，與圓P交于點B，sin∠CAO=
（1）求點C的坐標；
（2）若點D是弧AB的中點，求經過A、D、O三點的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點P（-4，0），可求得OA的長，又由sin∠CAO=，即可求得OC的長，則可得到點C的坐標；
（2）首先連接PD，過點D作DE⊥OA于點E，易得∠D=∠A，即可求得點D的坐標，然后由待定系數法求得經過A、D、O三點的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）．
解答：解：（1）∵P（-4，0），
∴OP=4，
∴OA=2OP=8，
在Rt△AOC中，sin∠CAO==，
∴設OC=3x，AC=5x，
∵AC²=OC²+OA²，
∴（5x）²=（3x）²+8²，
解得：x=2，
∴OC=6，AC=10，
∴點C的坐標為（0，6）；

（2）連接PD，過點D作DE⊥OA于點E，
∴∠D+∠DPE=90°，PD=OP=4，
∵點D是弧AB的中點，
∴PD⊥AB，
∴∠A+∠DPE=90°，
∴∠D=∠A，
∴sin∠D==，
∴PE=，
∴DE==，
∴OE=OP+PE=，
∴點D的坐標為：（-，），
∴，
解得：，
∴經過A、D、O三點的拋物線為：y=-x²-x．
點評：此題考查了垂徑定理、勾股定理、三角函數以及待定系數法求二次函數的解析式．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．