Question

（11·大連）（本題11分）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別
為(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是線段OC上的一動點（點P與點O、C不重合），過點P
的直線x＝t與AC相交于點Q．設四邊形ABPQ關于直線x＝t的對稱的圖形與△QPC重疊
部分的面積為S．
（1）點B關于直線x＝t的對稱點B′的坐標為________；
（2）求S與t的函數關系式．

Answer 1

解：（1）（2t＋1，0）…………………………2分
（2）① 如圖，點B’在點C的左側時，2t＋1＜4 解得t＜1.5


當0＜t＜1.5時，設點A關于直線x＝t的對稱點A’，A’B’與AC相交于點D，
過點D作DE⊥x軸，垂足為E，PC＝4－t，B’C＝4－(2t＋1)＝3－2t……………………3分
設直線AC解析式為y＝kx＋b，
將A（0，2），C（4，0）分別代入解析式得，

由對稱性可知，∠ABO＝∠DB’E，又∵∠AOB＝∠DEB’
∴△ABO∽△DB’E
②當1.5≤t＜4時，點B’在點C的右側或與點C重合（如圖2）


另外的解法：如圖，當1.5≤t＜4時，重合部分為三角形△CPQ，如圖2
∵△CPQ∽△COA，
∵ ，
即，
則PQ＝．
于是S_△QPC＝（4－t）＝（1.5＜t≤4），
如圖當0＜t＜1.5時，重合部分為四邊形DQPB’，

∵A點坐標為（0，2），
∴A′點坐標為（2t，2），
又∵B′點坐標為（2t＋1，0），
設直線A′B′解析式為y＝kx＋b，則將A′（2t，2），
和B′（2t＋1，0）分別代入解析式得，，
解得k＝－2，b＝2＋4t．
解析式為y＝－2x＋（2＋4t），
將y＝－x＋2和y＝－x＋（2＋4t）組成方程組得，
解得，
D點坐標為（8t，－4t＋2）．
由于B′坐標為（2t＋1，0），C點坐標為（4，0），
故B′C＝4－（2t＋1）＝3－2t，
S_△QPC＝（4－t）＝，
S_{四邊形QPB′D}＝S_△QPC－S_△DB′C＝－（3－2t）（－4t＋2）＝－t²＋6t＋1（0＜t≤1.5）．

解析