Question

如圖，銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D和E，AP∥BC且與BE的延長線交于P，又邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-x+

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4

（4m²-4m+2）=0的兩個根
（1）求m的值；
（2）若AF：FD=2，那么點(diǎn)A、C是否關(guān)于直線BE對稱？請說明理由，并求AP的值．

Answer 1

分析：（1）由判別式及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求m的值；
（2）由AB=AC，AD⊥BC可知BD=CD，由AP∥BC，AF：FD=2，得△AFP∽△DFB，利用相似比得AP=2BD=BC，連接CP，證明四邊形ABCP為平行四邊形，可得AE=EC，證明結(jié)論，可以得出此時△ABC為等邊三角形，故AP=BC=AB．

解答：解：（1）∵△=（-1）²-4×

1

4

（4m²-4m+2）=-（2m-1）²≥0，
∴2m-1=0，解得m=

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2

；

（2）當(dāng)m=

1

2

時，原方程兩根相等，即AB=AC=

1

2

，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵AP∥BC，AF：FD=2，
∴△AFP∽△DFB，
∴

AP

BD

=

AF

FD

=2，
∴AP=2BD=BC，
連接CP，則PA平行且等于BC，
∴四邊形ABCP為平行四邊形，
∴AE=EC，
即點(diǎn)A、C關(guān)于直線BE對稱，
∵BE垂直平分AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AP=BC=AB=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根的判別式，等腰三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是由判別式及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m的值，利用平行線證明相似三角形，得出E為AC的中點(diǎn)．