Question

（2009•本溪）如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為同弧所對的圓周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，則有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD為切線．
（2）連接AC，由于AB為直徑，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根據對應線段成比例求出BD．
解答：解：（1）直線BD和⊙O相切（1分）
證明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直線BD和⊙O相切．（5分）

（2）連接AC
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直徑AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
∴，解得BD=．（10分）
點評：此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定的綜合運用．