Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓O上，延長BC到點D，使得CD＝BC，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，點G為DF的中點，連接CG、OF、FB．

(1)(5分)求證：CG是⊙O的切線；

(2)(5分)若△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，求證：OF∥BC．

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】證明：(1)如圖，連接OC，

 

 

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90⁰。

∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。 

∴∠CFG＝∠FCG。

又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。   

∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。

又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。 ∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。

又∵OC是⊙O的半徑，∴CG為⊙O的切線。

(2)∵DG＝FG，∴。

               ∵DC＝CB，∴，∴。

  又∵，∴ 。∴AF＝FC。

又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位線。∴OF∥BC。

（1）連接OC．欲證CG是⊙O的切線，只需證明∠CGO=90°，即CG⊥OC。

（2）根據直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式，以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得AC=2AF；然后根據三角形中位線的判定和性質證得結論。