Question

如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，CD⊥AB于P，設AP=a，PB=b．
（1）求弦CD的長；
（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此時a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先求出圓的半徑，連接OC構造出直角三角形，利用勾股定理可求出CP的長，弦CD=2CP；
（2）根據同一個圓中弦不大于直徑．

解答：解：（1）連接OC，OC=

a+b

2

，OP=

a+b

2

-a=

b-a

2

，
所以PC²=OC²-OP²=(

a+b

2

)2-(

b-a

2

)2=ab，
得CD=2PC=2

ab

；

（2）由于CD≤AB，所以2

ab

≤a+b=10，
得ab≤25，
所以ab的最大值為25，此時a=b=5．

點評：構造以半徑為斜邊的直角三角形利用勾股定理求解是考查的重點之一．