Question

如圖，等腰梯形ABCD的頂點都在小正方形的頂點上，能否在DC上找到一點E使得梯形被EA、EB分割成3個相似三角形？如果能，請用符號把它們表示出來，并求相似比；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：由圖形可知∠A=∠B=45°，∠D=∠C=135°，AD和BC的長也可求，若要使△ADE∽△ECB．則可選擇嘗試SAS判定法，取E 在D右邊一格頂點上即DE=

1

2

CE問題即可解決．再通過勾股定理計算AE，BE的值利用SAS判定△BEA∽△ADE，所以三個三角形都相似．

解答：解：能在DC上找到一點E使得梯形被EA、EB分割成3個相似三角形，點E 在D右邊一格頂點上即DE=

1

2

CE（如圖所示）
連接AE，BE，
設每個小正方形的邊長為1，
∴AD=BC=

12+12

=

2

．
∵

AD

DE

=

2

1

，

CE

CB

=

2

2

=

2

1

，
又∵等腰梯形ABCD的頂點都在小正方形的頂點上，
∴∠DAB=∠CBA=45°，
∴∠ADE=135°，∠ECB=135°．
∴△ADE∽△ECB．
∴∠AED=∠CBE．
∵∠CEB+∠CBE=45°，
∴∠AED+∠CEB=45°，
∴∠AEB=135°，
由圖知AE=

12+22

=

5

，EB=

12+32

=

10

．
∴

BE

AE

=

10

5

=

2

1

，
∴△BEA∽△ADE∽△ECB．
∴能在DC上找到一點E使得梯形被EA、EB分割成3個相似三角形．
它們的相似比為：ED：BC：AE=1：

2

：

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，常用的相似判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的性質：對應角相等；對應邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．