Question

對于題目“如圖1，在一個直角三角形的內部作矩形ABCD，其中AB和AD在兩直角邊上，設AB=xcm，矩形ABCD的面積為ycm²，當x取何值時，y的值最大，最大值是多少？”（答案是當x=20時，y的值最大，最大值是300）．小華同學提出了如下兩個問題，你能幫助他解決嗎？
如果按圖2使矩形的一邊BC在斜邊EF上，如何解答此時求出來的最大值仍是300cm²嗎？你能肯定圖1和圖2中的兩個面積最大的矩形全等嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：①已知了AB=x，可在Rt△ABE中，用AB的長和∠E的正弦值求出AE的長，進而可表示出AC的長，同理可在Rt△AOD中，用AO的長和∠E的余弦函數求出AD的長，進而可根據矩形的面積公式得出y、x的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最大值為300，以及此時x的值．（也可用相似三角形來求AD的長，方法不唯一）．
②先根據①和②函數求出矩形各自的長和寬，然后比較即可．

解答：解：如圖2：設AB=xcm，矩形ABCD的面積為ycm²
在Rt△OEF中，sin∠E=

3

5

，
∵AB=x，∴AE=AB÷sin∠E=

5

3

x，
AO=40-AE=40-

5

3

x，
AD=AO÷cos∠DAO=AO÷cos∠E=

5

4

（40-

5

3

x）=50-

25

12

x，
∴y=AD×AB=（50-

25

12

x）x，即y=-

25

12

x²+50x
配方整理，得y=-

25

12

（x-12）²+300，
當x=12cm時，y_最大=300cm²
此時矩形ABCD的長BC=25cm，顯然圖①和圖②中的矩形ABCD的面積為300cm²，
由于圖①中的矩形的長和寬分別為15cm、20cm，圖②中的矩形的長和寬分別為25cm、12cm，
所以圖①和圖②中的矩形不全等．

點評：本題是二次函數綜合題，考查了圖象面積的求法，矩形的性質等知識點．