Question

如圖，直線與兩坐標軸相交于點A、B，點P是直線AB上的動點（點P不與點B重合），PC⊥X軸，PE⊥OP，PE交矩形PCBD的邊BD所在的直線于點E．
（1）求證：△POC∽△PED；
（2）設OP=x，OP+PE=y
①求y與x之間的函數關系；
②求y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證出∠OPC=∠EPD，再根據∠OCP=∠EDP即可證出△POC∽△PED，
（2）①先求出A、B點的坐標得出AO=3，BO=4，再證明△PBC∽△ABO得出，然后由△POC∽△PED得出，即  ，從而可以求出y與x之間的函數關系，
②因為y隨x的減小而減小，OP⊥AB時，y最小，求出OP的長即可得出y的最小值．
解答：（1）證明：∵∠OPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=90°，
∴∠OPC=∠EPD，
∵∠OCP=∠EDP=90°，
∴△POC∽△PED；

（2）解：①∵直線與兩坐標軸相交于點A、B，
∴A點的坐標是（0，3），B點的坐標是（4，0），
∴AO=3，BO=4，
∵PC∥AO，
∴△PBC∽△ABO，
∴，
∵△POC∽△PED，
∴，即  ，
∴；

②∵
∴y隨x的減小而減�。�
由于“垂線段最短”，
所以OP⊥AB時，y最小，
所以當x=時，y的最小值為．
點評：此題考查了一次函數的綜合應用，解題時要與相似三角形的判定和性質相結合，要注意知識的綜合應用．