Question

已知正方形ABCD 中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，“愛琢磨”學習小組的小明說“若EG⊥FH，則EG=FH”，小紅說“若EG=FH，則EG⊥FH”．則他們的說法（ ）
A．小明正確
B．小紅正確
C．都正確
D．都不正確

Answer 1

【答案】分析：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，可通過證明△HFN≌△EGM，可證得小明的說法；通過作輔助線，找到與EG相等但不垂直的HF，即可證得小紅的說法．
解答：證明：如圖，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵EM⊥CD
∴四邊形BCME是矩形，
∴EM=BC，
同理HN=AB，
∴EM=HN，
由題意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90°，
∵∠EON=∠HOG，
∴∠FHN=∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG=HF；
小明的說法是正確的；

如圖，在BC上找兩個點F和F'，使BF'=CF取AD的中點H，連接FH和F'H，
易證HF=HF'，
作EG⊥HF'，其中點E在AB上，點G在CD上，
由上題可知EG=F'H=FH，
但HF和EG不互相垂直，
小紅的說法是錯誤的．
故選：A．
點評：本題考查了正方形的性質，注意在正方形中的特殊三角形的應用，可有助于提高解題速度和準確率．