Question

如圖①，平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、B，OC⊥AB于點C，D是AB的中點．動點P從A出發沿折線AD→DO方向以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，同時動點Q從點D出發沿折線DO→OB方向以相同的速度運動．設點P的運動時間為t秒，當點P到達O點時P、Q同時停止運動．
（1）求OD的長；
（2）當點P在AD上運動時，設△DPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）如圖②，當點P在DO上、點Q在OB上運動時，PQ與OC交于點E，當t為何值時，△OPE為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1））根據直線交x軸于點A、y軸于B，求出A與B點的坐標，得出AB的值，再根據D是AB的中點，即可求出OD的值；
（2）先過Q作QE⊥AB于E，根據OC⊥AB于點C，得出=，AB•OC=AO•BO，求出OC的值，再根據DP=AD-AP=3-t，DQ=t，得出QE的值，再根據S_△DPQ=DP•QE=+，即可得出S的最大值；
（3）當PE=OE時，PQ∥OA，得出t-3=（6-t），求出t的值；當OP=OE時，根據∠COD=30°，求出∠PQO=45°，過P作PF⊥OB，得出PF=QF，根據PF=cos30°×OP=（6-t），QF=t-3-（6-t），得出t-3（6-t）=（6-t），求出t的值；當PO=PE時，得∠POE=∠PEO=30°，得出PE∥OB，此時△POE不存在，從而求出t=4或t=3+時，△OPE為等腰三角形．
解答：解：（1）∵直線交x軸于x軸、y軸于點A、B，
∴A點的坐標是（，0），B點的坐標是（0，3），
∴AB=6，
∵D是AB的中點，
∴OD=3；

（2）過Q作QE⊥AB于E，如圖，
∵OC⊥AB于點C，
∴=，AB•OC=AO•BO，
∴6OC=3×3，
∴OC=，
∵動點P從A出發沿折線AD→DO方向以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，
動點Q從點D出發沿折線DO→OB方向以相同的速度運動，
∴DP=AD-AP=3-t，DQ=t，
∴=，
∴QE=t，
∴S_△DPQ=DP•QE=（3-t）×t=+，
∵0＜t≤3，
當t=時，S的最大值=；

（3）當PE=OE時，PQ∥OA，
∴OQ=OP，即t-3=（6-t），
∴t=4，
當OP=OE時，
∵∠COD=30°，
∴∠OPQ=75°，∠PQO=45°，
過P作PF⊥OB，
∴PF=QF，
∵PF=cos30°×OP=（6-t），
QF=t-3-（6-t），
∴t-3（6-t）=（6-t），
∴t=3，
當PO=PE時，得∠POE=∠PEO=30°，
則PE∥OB，
此時△POE不存在，
所以此情況不成立，
綜上當t=4或t=3+，△OPE為等腰三角形．
點評：此題考查了一次函數的綜合，用到的知識點是直角三角形和等腰三角形的性質、解直角三角形、平行線的判定與性質，關鍵是根據題意畫出圖形，要注意把三種情況全部畫出．