Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²．其中正確的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②③
D．①③

Answer 1

【答案】分析：由△ADC繞點A順時針旋轉90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判斷∠FAE=∠DAE，可證①△AED≌△AEF．由已知條件可證△BEF為直角三角形，則有④BE²+DC²=DE²是正確的．
解答：解：∵△ADC繞點A順時針旋轉90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，AE為△AED和△AEF的公共邊，
∴△AED≌△AEF
∴ED=FE
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴在Rt△FBE中BE²+BF²=FE²，
∴BE+DC=DE③顯然是不成立的．
故正確的有①④，不正確的有③，②不一定正確．
故選B
點評：本題考查的知識點較多，由圖形的旋轉變換、圖形的全等、圖形的相似、勾股定理等知識點，通過判斷可知①④是正確的．