Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，DE與CF相交于G，DE、CB的延長線相交于點H，點M是CG的中點．求證：
（1）BM∥GH；
（2）BM⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質得到∠A與∠EBH都為直角，邊AD與BC的相等，再根據已知的點E為AB的中點得到AE=BE，另加一對對頂角的相等，根據“ASA”證得三角形ADE與三角形BHE全等，根據全等三角形的對應邊相等可得BH=AD，等量代換可得BH=BC，從而得到點B為CH的中點，再由已知的點M為CG的中點，可得BM為三角形CGH的中位線，根據中位線定理即可得到BM與GH的平行；
（2）根據正方形的性質得到正方形的四條邊相等，∠A與∠DAC都為直角，又點E、F分別是邊AB、AD的中點，可得AE=DF，根據“SAS”證得三角形AED與三角形DFC全等，根據全等三角形的對應角相等可得∠ADE與∠DCF的相等，又∠ADE+∠CDE=90°，根據等量代換可得∠DCF+∠CDE=90°，從而得到∠CGH為90°，最后由第一問得到的平行，根據兩直線平行，同位角相等即可得到∠CMB為90°，即BM⊥CF．

解答：證明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠A=∠EBH=90°，AD=BC，
∵E是AB的中點，
∴AE=BE，
∵∠AED=∠BEH，
∴△AED≌△BEH，
∴AD=BH，
∴BC=BH，即點B為CH的中點，
又點M為CG的中點，
∴BM為△CGH的中位線，
∴BM∥GH．

（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，
又∵點E、F分別是邊AB、AD的中點，
∴AE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
∴AE=DF，
∴△AED≌△DFC，
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠DCF+∠CDE=90°，∴∠CGH=90°，
∵BM∥GH，
∴∠CMB=∠CGH=90°，
∴BM⊥CF．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及平行線的判定與性質．是一道把三角形的知識與四邊形知識綜合在一起的一道證明題，是歷年中考必考的題型，要求學生熟練掌握有關知識，結合圖形，勇于探索，鍛煉了學生發散思維能力．