Question

（2012•開平區一模）如圖，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且交BC于點D，在AB上截取AE=AC，過點E作EF∥BC交AD于點F．
（1）求證：①△ADE≌△ADC； ②四邊形CDEF是菱形．
（2）求證：△ACF∽△ABD；
（3）請你以線段AE為直徑作圓（只保留作圖痕跡，不寫作法），若所作的圓交DF于點H，小明認為點H是線段DF的中點．你同意他的觀點嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據已知首先得出∠EAD=∠CAD進而利用SAS即可得出△ADE≌△ADC；
②由△ADE≌△ADC得：ED=CD，∠EDA=∠CDA，進而得出ED=CD=EF，四邊形CDEF是菱形；
（2）根據利用SAS即可得出△AFE≌△AFC，進而得出△AEF∽△ABD，即可得出答案；
（3）利用等腰三角形性質即可得出DH=HF．

解答：證明：
（1）①在△ADE和△ADC中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵在△ADE和△ADC中

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
②由△ADE≌△ADC得：
ED=CD，∠EDA=∠CDA，
∵EF∥BC
∴∠CDF=∠EFD，
∴∠EDA=∠EFD，
即：ED=CD=EF，
∴四邊形CDEF是菱形；

（2）在△AEF和△ACF中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠CAF，
∵在△AFE和△AFC中

AE=AC ∠EAF=∠CAF AF=AF

，
∴△AFE≌△AFC（SAS）； 
又∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABD； 
即：△ACF∽△ABD；

（3）同意；
連接EH，
∵AE是圓的直徑，∴∠AHE=90°，
即：EH⊥DF，
又∵ED=EF，
∴DH=HF．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及等腰三角形的性質和相似三角形的判定，利用等腰三角形的性質得出DH=EH是解題關鍵．