Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，M為AB上一點，過點M作DM⊥AB，交弦AC于點E，交⊙O于點F，且DC=DE．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）如果DM=15，CE=10，，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等邊對等角得到兩對角相等，根據DM垂直于AC，得到一對角互余，等量代換得到∠OCD=90°，即可得到DC為圓O的切線；
（2）過D作DG垂直于AC，連接OB，利用三線合一得到G為CE中點，由CE長求出EG長，利用對頂角相等得到∠DEG=∠AEM，確定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用銳角三角函數定義求出DE的長，再利用勾股定理求出DG的長，由DM-DE求出EM的長，由一對直角相等，一對對頂角相等得到三角形AEM與三角形DEG相似，由相似得比例求出AM與AE的長，AE+EC求出AC的長，由AB為圓的直徑，得到三角形ABC為直角三角形，利用銳角三角函數定義表示出cosA，即可求出AB的長，進而確定出圓的半徑．
解答：（1）證明：如圖，連結OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切線；
（2）如圖所示，過D作DG⊥AC，連接OB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=CE=5，
∵cos∠DEG=cos∠AEM==，
∴DE=13，
∴DG==12，
∵DM=5，
∴EM=DM-DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴==，即==，
∴AM=，AE=，
∴AC=AE+EC=，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cosA==，
∴AB=，
則圓O的半徑為AB=．
點評：此題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．