Question

【題目】如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC垂足為D，弧AE=弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G.

（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由.

（2）如圖②若點E與點A在直徑BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變（1）中的結論還成立嗎？請說明理由

（3）在（2）的條件下，若BG=26，BD-BF=7,求AB的長。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)4.

【解析】

（1）首先根據圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，從而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧對等角等知識得到AF=BF，從而證得FA=FG，判定等腰三角形；
（2）成立，證明方法同（1）；
（3）首先根據上題得到AF=BF=FG，從而利用已知條件得到FB=13，然后利用勾股定理得到BD=12，DF=5，從而求得AD=8，最后求得AB=4.

解：（1）△FAG是等腰三角形，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，

∴∠ABE+∠AGB=90°，∵AD⊥BC ，∴∠ACB+∠DAC=90°，∵弧AE=弧AB，

∴∠ABE=∠ACB，∴∠AGB=∠DAC，∴△FAG是等腰三角形.

（2）成立.

∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，

∴∠ABG+∠G=90°，∵AD⊥BC，∴∠ACB+∠CAF=90°，∵弧AE=弧AB，

∴∠ABG=∠ACB，∴∠G=∠CAF，∴△FAG是等腰三角形；

（3）由（2）中可得：AF=BF=FG，∵BG=26，∴BF=13，在Rt△BDF中，BD2 +DF2=BF2，∴BD2 +DF2=169，又∵BD -DF=7，解得BD=12，DF=5，∴AD=AF-DF=13-5=8，∴AB=.