Question

【題目】在△ACD中，CD＝1，AC＝3．以AD為直徑作⊙O，點C恰在圓上，點B為射線CD上一點，連接BA交⊙O于點E，連接CE交AD于點G，過點A作AF∥CD交DE的延長線于點F．

（1）若∠DAE＝30°，求DE的長；

（2）求證：△AEC∽△FAD；

（3）當△GEA∽△FAD時，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）見解析；（3）DF＝．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AD，再用銳角三角函數即可得出結論；

（2）利用AF∥CD，得出∠ADC=∠FAD，進而得出∠AEC=∠FAD，即可得出結論；

（3）先用相似判斷出∠EAG=∠ADF=45°，進而求出AE=，再判斷出∠ACE=∠DCE，進而得出△AGH∽△DGC，求出AG，即可得出結論．

解（1）：∵點C以AD為直徑的圓上，

∴∠ACD＝90°，

根據勾股定理得，AD＝＝＝，

∵點E以AD為直徑的圓上，

∴∠AED＝90°，

在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，

∴sin∠DAE＝，

∴DE＝ADsin∠DAE＝×sin30°＝；

（2）∵AF∥CD，

∴∠ADC＝∠FAD，

∵∠ADC＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠FAD，

∵∠ACE＝∠ADF，

∴△AEC∽△FAD；

（3）如圖，

∵△GEA∽△FAD，

∴∠EAG＝∠ADF，

∵∠AED＝90°，

∴∠EAG＝∠ADF＝45°，

∴AE＝AD＝×＝，

∵∠EAG＝∠ADF，∠DCE＝∠DAE，

∴∠DCE＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠ACE，

∴∠ACE＝∠DCE，

延長CE交AF的延長線于H，

∵AF∥CD，

∴∠H＝∠DCE，

∴∠H＝∠ACE，

∴AH＝AC＝3，

∵AF∥CD，

∴△AGH∽△DGC，

∴，

∴，

∴，

∴AG＝，

∵△GEA∽△FAD，

∴，

∴，

∴DF＝．