Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高．
（1）求證：△ABC∽△ADC；
（2）若關于x的一元二次方程mx²-（m-2）x+（m-1）=0有兩個不相等的實數根，試求m的取值范圍；
（3）若（2）中方程的兩根恰好是Rt△ABC兩個銳角的正弦值，求Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠ADC=∠ACB=90°和∠A=∠A即可推出兩三角形相似；
（2）根據已知得出m≠0，b²-4ac=[-（m-2）]²-4•m•（m-1）＞0，求出即可；
（3）根據根與系數的關系得出sinA+sinB=，sinA•sinB=，根據sin²A+sin²B=1推出（）²-2×=1，求出m的值，代入方程即可得出答案．
解答：（1）證明：∵∠C=90°，CD為斜邊AB上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADC；

（2）解：∵關于x的一元二次方程mx²-（m-2）x+（m-1）=0有兩個不相等的實數根，
∴m≠0，b²-4ac=[-（m-2）]²-4•m•（m-1）＞0，
解得：m＜且m≠0；

（3）解：設AC=b，BC=a，AB=c，AB上高CD=h，
∵由三角形的面積公式得：S_△ACB=ab=ch，
∴h=，
∴Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是：==，
mx²-（m-2）x+（m-1）=0，
則sinA+sinB=，sinA•sinB=，
∵∠A+∠B=90°，
∴sin²A+sin²B=（）²+（）²==1，
即（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
（）²-2×=1，
整理得：m²+7m-8=0，
m=-8，m=1，
①當m=-8時，方程為-8x²+10x-=0，
32x²-40x+9=0，
sinA•sinB=•=，
∴=，
即Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是；
②當m=1時，方程為x²+x=0，
sinA•sinB=•=0，
∵∠A和∠B是△ACB的內角，
∴此種情況不符合題意舍去，
綜合上述，Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是．
點評：本題考查了直角三角形性質，相似三角形的性質和判定，三角形的面積，根與系數的關系，根的判別式等知識點的綜合運用，題目比較好，但是一道難度偏大的題目．