Question

【題目】閱讀下面材料，回答問題

距離能夠產生美．

唐代著名文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無．

當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：

“世界上最遙遠的距離

不是瞬間便無處尋覓

而是尚未相遇

便注定無法相聚”

距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．

已知點 A，B 在數軸上分別表示有理數 a，b，A，B 兩點之間的距離表示為 AB．

（）當 A，B 兩點中有一點在原點時，不妨設點 A 在原點，如圖 1，．

（）當 A，B 兩點都不在原點時，

①如圖 2，點 A，B 都在原點的右邊，；

②如圖 3，點 A，B 都在原點的左邊，；

③如圖 4，點 A，B 在原點的兩邊，．

綜上，數軸上 A，B 兩點的距離 ．

利用上述結論，回答以下三個問題：

（1）若數軸上表示 和的兩點之間的距離是，則 ；

（2）若代數式 取最小值時，則的取值范圍是 ；

（3）若未知數 ， 滿足 ，則代數式 的最大值是 ，最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）-6或2；（2）-1≤x≤2；（3）7，-1；

【解析】

（1）把問題轉化為絕對值方程，即可解決問題．
（2）若代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，表示在數軸上找一點x，到-1和2的距離之和最小，顯然這個點x在-1和2之間（包括-1，2），由此即可解決問題．
（3））因為（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，又因為|x-1|+|x-3|的最小值為2，|y-2|+|y+1|的最小值為3，所以1≤x≤3，-1≤y≤2，由此不難得到答案．

（1）若數軸上表示x和-2的兩點之間的距離是4，
則|x+2|=4，
解得x=-2-4=-6或x=-2+4=2．
故答案為-6或2．
（2）若代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，表示在數軸上找一點x，到-1和2的距離之和最小，顯然這個點x在-1和2之間（包括-1，2），
∴x的取值范圍是-1≤x≤2，
故答案為-1≤x≤2．
（3）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，
又∵|x-1|+|x-3|的最小值為2，|y-2|+|y+1|的最小值為3，
∴1≤x≤3，-1≤y≤2，
∴代數式x+2y的最大值是7，最小值是-1．
故答案為7，-1．