Question

已知a，b是正實數，

a+b

2

≥

ab

是恒成立的．
（1）由（

a

-

b

）²≥0恒成立，說明

a+b

2

≥

ab

是恒成立；
（2）如圖，在⊙O中，AB是直徑，C是圓上異于點A和點B的點，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，連接AC，BC，設AD=a，BD=b，根據圖說明

a+b

2

≥

ab

是恒成立．

Answer 1

分析：（1）由（

a

-

b

）²≥0，利用完全平方公式，即可證得

a+b

2

≥

ab

是恒成立；
（2）首先證得Rt△ACD∽Rt△CBD，由相似三角形的對應邊成比例，可求得CD的值，又由OC是半徑，可求得OC=

a+b

2

，然后由點到線的距離垂線段最短，即可證得

a+b

2

≥

ab

是恒成立．

解答：解：（1）∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，
∴a+b≥2

ab

，
∴

a+b

2

≥

ab

；

（2）如圖，連接OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴

CD

AD

=

BD

CD

，
∴CD²=AD•BD=ab，
∴PC=

ab

，
又∵CO=

a+b

2

，
∵CD≥OC，
∴

a+b

2

≥

ab

．

點評：此題考查了圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、幾何不等式的應用與證明以及完全平方公式等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想的應用，注意完全平方式的非負性的應用．