Question

已知a、b是正實數，那么，是恒成立的．
（1）由恒成立，說明恒成立；
（2）填空：已知a、b、c是正實數，由恒成立，猜測：______也恒成立；
（3）如圖，已知AB是直徑，點P是弧上異于點A和點B的一點，PC⊥AB，垂足為C，AC=a，BC=b，由此圖說明恒成立．

Answer 1

解：（1）∵（-）²≥0，
∴a-2+b≥0，…
∴a+b≥2，…
∴≥；…

（2）…
理由：a³+b³+c³-3abc
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
=（a+b+c）（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）
=（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]
∵a、b、c是正實數，
∴a³+b³+c³-3abc≥0，
∴a³+b³+c³≥3abc，
同理： 也恒成立；
故答案為：；

（3）如圖，連接OP，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴，
∴PC²=AC•CB=ab，
∴PC=，…
又∵PO=，
∵PO≥PC，
∴．…
分析：（1）由（-）²≥0，利用完全平方公式，即可證得恒成立；
（2）由a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）=（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，可證得a³+b³+c³≥3abc，即可得 也恒成立；
（3）首先證得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的對應邊成比例，可求得PC的值，又由OP是半徑，可求得OP=，然后由點到線的距離垂線段最短，即可證得恒成立．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、幾何不等式的應用與證明以及完全平方公式等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想的應用，注意完全平方式的非負性的應用．