Question

如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE．
（1）試探究，四邊形BECF是什么特殊的四邊形？
（2）當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結論．（特別提醒：表示角最好用數字）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；
（2）由菱形的性質知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度．
解答：解：（1）四邊形BECF是菱形．
證明：∵BC的垂直平分線為EF，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，
∴∠2=∠A，
∴EC=AE，
又∵CF=AE，BE=EC
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形．

（2）當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．
點評：本題利用了：菱形的判定和性質及中垂線的性質、直角三角形的性質．