Question

如圖，在四邊形ABCD中，M、N分別是CD、BC的中點，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，則∠ADC度數為（ ）

A．45°
B．47°
C．49°
D．51°

Answer 1

【答案】分析：首先要求出∠3，∠4的度數，然后連接AC，利用角與角的和差關系求得∠ADC的度數．
解答：解：∵AM⊥CD，AN⊥BC，∠MAN=74°，∠DBC=41°即∠4=41°，
∴四邊形AMCN是圓內接四邊形，
∴∠MAN+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠MAN=180°-74°=106°
∴∠3=180-∠2-∠BCD=180°-41°-106°=33°，
連接AC
∵M、N分別是CD、BC的中點，且AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AB=AC=AD，∠1=∠2，
∠1+∠4=∠ACB---①，
∠2+∠3=∠ACD----②
∠ACB+∠ACD=∠NCM=106°---③
由①②③得∠1+∠2+∠3+∠4=106°
∵∠1=∠2，∠4=41°，∠3=33°，
代入得：∠2=16°，
故∠ADC=∠2+∠3=16°+33°=49°．
故選C
點評：本題考查了線段垂直平分線的性質及三角形內角和定理；作出輔助線后利用線段垂直平分線的性質，四邊形及三角形的內角和定理解答是解答本題的關鍵．