Question

實踐與探索！
①過四邊形一邊上點P與另外兩個頂點連線可以把四邊形分成________個三角形；
②過五邊形一邊上點P與另外三個頂點連線可以把五邊形分成________個三角形；
③經過上面的探究，你可以歸納出過n邊形一邊上點P與另外________個頂點連線可以把n邊形分成________個三角形（用含n的代數式表示）．
④你能否根據這樣劃分多邊形的方法來寫出n邊形的內角和公式？請說明你的理由．

Answer 1

3    4    n-2    n-1
分析：①②③在n邊形的邊上任意取一點，連接這點與各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形；
④欲證明多邊形的內角和定理，可以把多邊形的內角轉移到三角形中，利用（n-1）個三角形，內角和為（n-1）×180°，n邊形的內角和還要再減去P所在的一個平角，所以n邊形的內角和為（n-2）×180°．
解答：①過四邊形一邊上點P與另外兩個頂點連線可以把四邊形分成4-1=3個三角形；
②過五邊形一邊上點P與另外三個頂點連線可以把五邊形分成5-1=4個三角形；
③經過上面的探究，你可以歸納出過n邊形一邊上點P與另外（n-2）個頂點連線可以把n邊形分成 （n-2）個三角形（用含n的代數式表示）．
④在n邊形的任意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，
這（n-1）個三角形的內角和等于（n-1）•180°，
以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°，
所以n邊形的內角和是（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°．
故答案為：3；4；n-2，n-1．
點評：本題考查了多邊形的內角和定理的證明，解題關鍵是將多邊形的內角和問題轉化為三角形中解決，在n邊形的任意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形．