Question

已知：如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD相交于點E，且AC=AB，BD=BC，BA⊥AC于點A，求證：CD=CE．

Answer 1

分析：如圖，首先分別過A，D作梯形的高線，把梯形的問題轉化成直角三角形和矩形的問題．在Rt△ABC中，容易知道AN=

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BC．在△BDC中，DM=AN，DM=

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BD，這樣可以確定∠DBC=30°，再根據等腰三角形的性質求出△BDC內角的度數，然后可以證明題目結論

解答：證明：如答圖所示，
作AN⊥BC于N，DM⊥BC于M，
∵AB=AC，∴AN為BC的中線，
又∵∠BAC=90°，
∴AN=

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BC．
∵AN⊥BC，DM⊥BC，AD∥BC，
∴四邊形ANMD為矩形．
∴AN=DM．∴DM=

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BC．
∵BC=BD，∴DM=

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BD．
又∵∠DMB=90°，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°．
∴∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°．
∴∠EDC=∠DEC=75°，
∴CD=CE．

點評：此題主要考查梯形的常用輔助線-做梯形的高線，把梯形的問題轉化成三角形，矩形的問題，然后根據已知條件和三角形的性質解題．