Question

是否存在整數m，使關于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

與關于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同？若存在，求出整數m和不等式的解集；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當m大于零時，求出不等式的解集得出方程9-m=

m-5

2

，求出方程的解；（2）當m小于零時，求出不等式的解集x＜9-m，x＞

m-5

2

，解集不相同．把m的值代入求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

，
當m大于零時有，
m+3x＞x+9，
2x＞9-m，
∴x＞

1

2

（9-m），
x+1＞

x-2+m

3

，
∴3x+3＞x-2+m，
x＞

m-5

2

，
當

1

2

（9-m）=

m-5

2

時，
解得：m=7，
存在數m=7使關于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

與關于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同；
（2）1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

，
當m小于零時有，m+3x＜x+9，
2x＜9-m，
∴x＜

1

2

（9-m），
x+1＞

x-2+m

3

，
 3x+3＞x-2+m，
x＞

m-5

2

，
∵x＞

m-5

2

與x＜

1

2

（9-m）的不等號方向是相反，
∴當m＜0時不存在
  綜合（1），（2）存在整數m=7使關于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

與關于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同．

1

2

（9-m）=1，
∴關于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

與關于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集都是x＞1，
答：存在整數m，使關于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

與關于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同，整數m=7，不等式的解集是x＞1．

點評：本題主要考查對解一元一次方程，不等式的性質，解一元一次不等式等知識點的理解和掌握，能根據不等式的性質正確解不等式是解此題的關鍵．