Question

如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O、A），過P、O兩點的二次函數y₁和過P、A兩點的二次函數y₂的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D，當OD=AD=3時，這兩個二次函數的最大值之和等于

5

．

Answer 1

分析：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=

5

，設P（2x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出

BF

DE

=

OF

OE

，

CM

DE

=

AM

AE

，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答：解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=

1

2

OA=2，
由勾股定理得：DE=

OD2-OE2

=

5

，
設P（2x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴

BF

DE

=

OF

OE

，

CM

DE

=

AM

AE

，
∵AM=PM=

1

2

（OA-OP）=

1

2

（4-2x）=2-x，
即

BF

5

=

x

2

，

CM

5

=

2-x

2

，
解得：BF=

5

2

x，CM=

5

-

5

2

x，
∴BF+CM=

5

．
故答案為：

5

點評：此題考查了二次函數的最值，勾股定理，等腰三角形性質，以及相似三角形的性質和判定的應用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．