Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為下底BC上一點（不與B、C重合），過P點作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求等腰梯形的腰長；
（2）證明：△ABP∽△PCE；
（3）在底邊BC上是否存在一點P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解：過A作AF⊥BC于F，由已知可得BF的長，再根據直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AB即可；
（2）根據∠APE=∠B，則∠APC=∠B+∠BAP，即可得出∠BAP=∠CPE，從而證明出∴△ABP∽△PCE；
（3）結論：存在這樣的點P；由DE：EC=5：3，得CE的長，設BP=x，則PC=7-x，由△ABP∽△PCE，得AB：PC=BP：CE，代入數據得出的值，即可求出BP．
解答：（1）解：過A作AF⊥BC于F，過點D作DH⊥BC于H，
等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四邊形ADHF是矩形，
∴AF=DH，FH=AD，
∵AB=DC，
∴Rt△ABF≌Rt△DCH，
∴BF=CH，
∴BF=…（2分）
在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，
∴AB=4
即等腰梯形的腰長為4…（4分）

（2）證明：由∠APC為△ABP的外角得
∠APC=∠B+∠BAP，
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，
∴∠BAP=∠CPE．…（6分）
又由等腰梯形性質得∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE（如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似）  …（8分）

（3）解：存在這樣的點P…（9分）
理由如下：
由DE：EC=5：3，DE+CE=DC=4，得
CE=…（10分）
設BP=x，則PC=7-x
由△ABP∽△PCE，得
=，即= …（12分）
解得x₁=1，x₂=6，經檢驗，都符合題意
故BP=1或BP=6  …（13分）
評分說明：部分解答題有多種解法，以上各題只給出了一種解法，學生的其他解法可參照給分．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰梯形的性質，以及解分式方程，熟練掌握相似三角形的判定：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．