Question

（2013•門頭溝區二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，點D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點O作OF∥AD，分別交BD、CD于點E、F．若OB=2，求OE和CF的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，又由∠A=30°，∠ABD=2∠BDC，易證得△ODB是等邊三角形，繼而求得∠ODC=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）由三角函數的性質，即可求得CD與DF的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連結OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．  
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°．
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDC=

1

2

∠ABD=30°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°． …（3分）
∵BD=OB=2，
∴DE=BE=

1

2

BD=1．
∴OE=

OB2-BE2

=

3

．
∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，
∴CD=OD•tan60°=2

3

，DF=OD•tan30°=

2

3

3

．
∴CF=CD-DF=2

3

-

2

3

3

=

4

3

3

．

點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質、勾股定理以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．