Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點A的坐標為（﹣1，0），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設點P的橫坐標為m．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；
（Ⅱ）當點P在線段OB上運動時，求線段MN的最大值；
（Ⅲ）當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵拋物線過A、C兩點，

∴代入拋物線解析式可得： ，解得： ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B點在A點右側，

∴B點坐標為（3，0），

設直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（Ⅱ）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標為m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），

∵P在線段OB上運動，

∴M點在N點上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，MN有最大值，MN的最大值為 ；

（Ⅲ）∵PM⊥x軸，

∴MN∥OC，

當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，

當點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程無實數根，

當點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m= 或m= ，

綜上可知當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為 或 ．

【解析】（1）把A、C兩點的坐標代入拋物線的解析式中列方程組可求得b,c的值，令y=0，解方程可得B點的坐標，利用待定系數法求直線BC的解析式；（2）根據解析式表示出M、N兩點的坐標，其縱坐標的差就是MN的長，配方后求得最值即可；（3）分兩種情況：當點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，當點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，根據MN=3列方程解出即可。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．