Question

如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，點B、C、D在一條直線上，點M是AE的中點，連接BM交AC于點P，連接DM交CE于點Q，直線PQ分別交AB、DE于F、G兩點，下列結論：
①BM⊥DM；②四邊形AFGE為平行四邊形；③FP+GQ=PQ；④AF²=BF•DG．
正確的結論有（ ）

A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①過點M作MN⊥BD，垂足為N，則MN∥DE∥AB，根據平行線分線段成比例定理得出N為BD中點，由線段垂直平分線的性質得到BM=DM，再根據梯形中位線、等腰直角三角形的性質得出MN=BD，則∠BMD=90°，判斷①正確；
②先由等腰直角三角形的性質及三角形內角和定理得出∠BPC=90°，再根據等腰三角形三線合一的性質得出AP=PC，同理得出EQ=QC，則PQ是△CAE的中位線，由三角形中位線定理得到
PQ∥AE，PQ=AE，又AF∥EG，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判斷②正確；
③先由平行四邊形的性質得出FG=AE，又由②知PQ=AE，則FP+GQ=AE=PQ，判斷③正確；
④先證明∠APF=∠DQG，又∠FAP=∠GDQ=45°，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△APF∽△DQG，由相似三角形對應邊成比例得出=，同理△BPF∽△EQG，=，則=，AF•EG=BF•DG，又AF=EG，判斷④正確．
解答：解：①過點M作MN⊥BD，垂足為N，則MN∥DE∥AB，
∵點M是AE的中點，
∴N為BD中點，即MN垂直平分BD，
∴BM=DM．
∵MN是梯形ABDE的中位線，
∴MN=（AB+ED）=（BC+CD）=BD=BN=ND，
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM，故①正確；

②∵△BMD、△ABC均是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠ACB=45°，
∴∠BPC=90°，即BP⊥AC，
∴AP=PC，
同理EQ=QC，
∴PQ是△CAE的中位線，
∴PQ∥AE，PQ=AE，
又∵AF∥EG，
∴四邊形AFGE為平行四邊形，故②正確；

③∵四邊形AFGE為平行四邊形，
∴FG=AE，
∵PQ=AE，
∴FP+GQ=FG-PQ=AE-AE=AE=PQ，
即FP+GQ=PQ，故③正確；

④∵∠ACB=∠MDB=45°，
∴AC∥DM，
∴∠CPQ=∠MQP，
∵∠APF=∠CPQ，∠MQP=∠DQG，
∴∠APF=∠DQG，
∵∠FAP=∠GDQ=45°，
∴△APF∽△DQG，
∴=，
同理△BPF∽△EQG，
∴=，
∴=，
∴AF•EG=BF•DG，
∵?AFEG中，AF=EG，
∴AF²=BF•DG，故④正確．
故選D．
點評：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，線段垂直平分線的性質，三角形與梯形中位線的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形、平行四邊形、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大．