Question

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交 CE于點G，連接BE．下列結論中：
①CE=BD；  ②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；    ④CD=EF．
一定正確的結論有（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：①利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四邊形的性質可得AE=CD，再結合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS證明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④由②△ADC是等腰直角三角形和四邊形ACDE是平行四邊形，可得EF=CF，AF=DF，所以得△CFD為等腰直角三角形且∠CFD=90°，即得CD≠CF，即CD≠EF．

解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∴故①正確；
②∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE都是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正確；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴∠ADB=∠AEB；
故③正確；
④已知四邊形ACDE是平行四邊形，
∴EF=CF，AF=DF，
又證得②△ADC是等腰直角三角形，
∴△CFD為等腰直角三角形且∠CFD=90°，
∴CD≠CF，即CD≠EF，
故④CD=EF錯誤；
所以一定正確的結論有①②③，
故選A．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質、平行四邊形的性質及等腰三角形的判定與性質，注意細心分析，熟練應用全等三角形的判定以及平行四邊形的性質及等腰三角形的判定與性質，是解決問題的關鍵．