Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c(a＜0)的圖象過點A(3，m)．

(1)當a＝﹣1，m＝0時，求拋物線的頂點坐標_____；

(2)如圖，直線l：y＝kx+c(k＜0)交拋物線于B，C兩點，點Q(x，y)是拋物線上點B，C之間的一個動點，作QD⊥x軸交直線l于點D，作QE⊥y軸于點E，連接DE．設∠QED＝β，當2≤x≤4時，β恰好滿足30°≤β≤60°，a＝_____．

Answer 1

【答案】(1，4) ﹣

【解析】

（1）利用待定系數法求得拋物線解析式，然后利用配方法將拋物線解析式轉化為頂點式，可以直接得到答案；

（2）將點Q（x，y）代入拋物線解析式得到：y＝ax2﹣2ax+c．結合一次函數解析式推知：D（x，kx+c）．則由兩點間的距離公式知QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．在Rt△QED中，由銳角三角函數的定義推知tanβ＝＝ax﹣2a﹣k．所以tanβ隨著x的增大而減小．結合已知條件列出方程組，解該方程組即可求得a的值．

(1)當a＝﹣1，m＝0時，y＝﹣x2+2x+c，A點的坐標為(3，0)，

∴﹣9+6+c＝0．

解得 c＝3．

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3．

即y＝﹣(x﹣1)2+4．

∴拋物線的頂點坐標為(1，4)，

故答案為(1，4)．

(2)∵點Q(x，y)在拋物線上，

∴y＝ax2﹣2ax+c．

又∵QD⊥x軸交直線 l：y＝kx+c(k＜0)于點D，

∴D點的坐標為(x，kx+c)．

又∵點Q是拋物線上點B，C之間的一個動點，

∴QD＝ax2﹣2ax+c﹣(kx+c)＝ax2﹣(2a+k)x．

∵QE＝x，

∴在Rt△QED中，tanβ＝＝ax﹣2a﹣k．

∴tanβ是關于x的一次函數，

∵a＜0，

∴tanβ隨著x的增大而減小．

又∵當2≤x≤4時，β恰好滿足30°≤β≤60°，且tanβ隨著β的增大而增大，

∴當x＝2時，β＝60°；當x＝4時，β＝30°．

∴，

解得，

故答案為﹣．