Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連接DE、EF．下列結論：
①四邊形BDEF是菱形；②四邊形DFOE的面積=三角形AOF的面積
其中正確的結論

1. A.
   ①是真命題②是假命題
2. B.
   ①是假命題②是真命題
3. C.
   ①是真命題②是真命題
4. D.
   ①是真假命題②是假命題

Answer 1

C
分析：首先根據折疊的性質得到BF=EF，BD=ED，再結合等腰直角三角形的性質、三角形的內角和及外角的性質得出∠BFD=∠BDF，由等邊對等角得出BD=BF，然后根據四邊相等的四邊形是菱形可判斷①正確；連接CF，先根據等底同高的兩個三角形面積相等得出S_△AOF=S_△COF，再由同底等高的兩個三角形面積相等得出S_△EFD=S_△EFC，從而得到S_{四邊形DFOE}=S_△COF，進而可判斷②正確．
解答：解：①∵把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，
∴BF=EF，BD=ED．
∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO為∠ABC的平分線，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折疊可知，AD是∠BAC的平分線，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD為△ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
∴∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，
∴BF=EF=BD=ED，
∴四邊形BDEF是菱形，故①正確；
②連接CF．
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵四邊形BDEF是菱形，
∴EF∥CD，
∴S_△EFD=S_△EFC，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△COF，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△AOF，故②正確．
故選C．
點評：本題主要考查了翻折變換，菱形的判定，等腰直角三角形的性質，平行線的判定，面積的計算等知識，綜合性較強，難度中等．用到的知識點為：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；四邊相等的四邊形是菱形；三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；兩條平行線間的距離相等．