Question

在圖1、圖2中，線段AC=CE，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點，四邊形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中點是M．
如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，容易證明FM=MH，FM⊥HM；現將圖1的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，判斷△FMH的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：連接BM，MD，MF交AC于P，根據三角形中位線定理求出MD∥BC，MD=AC=BC=BF，MB∥CD，MB=CE=CD=DH，得出平行四邊形BCDM，求出∠CBM=∠CDM，根據SAS證△FBM≌△MDH，推出FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD，即可求出∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠BFM=∠FBP=90°，即可得出答案．
解答：△FMH是等腰直角三角形，
證明：連接BM，MD，MF交AC于P，
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，
∴MD∥BC，MD=AC=BC=BF，
MB∥CD，MB=CE=CD=DH，
∴四邊形BCDM是平行四邊形，
∴∠CBM=∠CDM，
∵∠FBP=∠HDC=90°，
∴∠FBM=∠MDH，
∵FB=DM，BM=DH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠BFM=∠FBP=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，等腰直角三角形，三角形的中位線等知識點的運用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，本題綜合性比較強，難度偏大，對學生提出較高的要求．