Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①AE為何值時四邊形CEDF是矩形？為什么？

②AE為何值時四邊形CEDF是菱形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當AE＝4cm時，四邊形CEDF是矩形．理由見解析；②當AE＝2時，四邊形CEDF是菱形，理由見解析.

【解析】

（1）先證△GED≌△GFC，推出DE＝CF和DE∥CF，再根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）①作AP⊥BC于P，先證明△ABP≌△CDE，然后求出DE的值即可得出答案；②先證明△CDE是等邊三角形，然后求出DE的值即可得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BF，

∴∠DEF＝∠CFE，∠EDC＝∠FCD，

∵G是CD的中點，

∴GD＝GC，

∴△GED≌△GFC，

∴DE＝CF，DE∥CF，

∴四邊形CEDF是平行四邊形，

（2）①當AE＝4cm時，四邊形CEDF是矩形．

理由：作AP⊥BC于P，

∵四邊形CEDF是矩形，

∴∠CED＝∠APB＝90°，

∴AP=CE，

又∵ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=4cm，

則△ABP≌△CDE（HL），

∴BP=DE，

∵AB＝4cm，∠B＝60°，

∴BP＝AB×cos60°=4×=2（cm），

∴BP=DE=2cm，

又∵BC=AD=6cm，

∴AE=AD-DE=6-2=4（cm）；.

②當AE＝2時，四邊形CEDF是菱形．

理由：∵平行四邊形CEDF是菱形，

∴DE＝CE，

又∵∠CDE＝∠B＝60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=4cm，DE=CD=4cm，

∵BC=AD=6cm，

則AE=AD-DE=6-4=2（cm）.