Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，過點D作BA的平行線交AC于點O，過點A作BC的平行線交DO的延長線于點E，連接CE．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）作出△ABC外接圓，不寫作法，請指出圓心與半徑；
（3）若AO：BD= ：2，求證：點E在△ABC的外接圓上．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE∥AB，AE∥BC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，

∴AD= BC=CD，

∴四邊形ADCE是菱形

（2）解：如圖所示：圓心為點D，AD、BD、CD都為半徑

（3）證明：∵四邊形ADCE是菱形，

∴AC⊥DE，OD=OE，

∴∠AOD=90°，

∵AO：BD=3：2，

∴AO：AD=3：2，

即sin∠ADO=3：2，

∴∠ADO=60°，

∴∠OAD=30°，

∴AD=2OD，

∴DE=DA，

∴點E在△ABC的外接圓上

【解析】（1）先證ABDE是平行四邊形，得到AE=BD=CD，又AE∥BC，得出四邊形ADCE是平行四邊形，再利用斜邊性質得AD=CD,證出菱形；（3）要證點E在△ABC的外接圓上，須證DE=DA，可轉化DE=AB,利用AO：BD= ：2,可得sin∠ADO=：2，所以∠ADO=60°，∠OAD=30°，AD=2OD，進而DE=DA.
【考點精析】關于本題考查的三角形的外接圓與外心和切線的性質定理，需要了解過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．