Question

判斷與說理
（1）如圖1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于點C、B，連接BC．請你判斷AB、AC是否相等，并說明理由；
（2）△ADE的位置保持不變，將△ABC繞點A逆時針旋轉至圖2的位置，AD、BE相交于O，請你判斷線段BE與CD的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）AB=AC
說理如下：∵EC平分∠AED，DB平分∠ADE，
∴∠AEC=∠AED，∠ADB=∠ADE．
∵∠AED=∠ADE，
∴∠AEC=∠ADB．
在△AEC和△ADB中，∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，
∴△AEC≌△ADB（ASA）
∴AB=AC；

（2）BE=CD，BE⊥CD
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD+∠BAD=∠BAC+∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，BE=CD，
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°①，
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°②，
②-①得，∠DOE=90°，
∴BE⊥CD．
綜上可得：BE⊥CD，且BE=CD．
分析：（1）要證AB=AC，需要證明△AEC≌△ADB．關鍵是通過角平分線定義證出∠AEC=∠ADB，再利用ASA的判定方法證出，從而得到結論；
（2）要證BE=CD，需要證明△AEB≌△ADC．關鍵是先證出∠EAB=∠DAC，再通過SAS證出△AEB≌△ADC，進而得到EB=CD，則∠AEB=∠ADC，再利用∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°說明∠DOE=90°從而解決問題．
點評：本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識；∠EAB=∠DAC的證出事解答本題的關鍵．