Question

我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形．若它與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（-m，O）、C（m，0）．
（1）直接判斷并填寫(xiě)：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是

 

；
（2）①當(dāng)點(diǎn)B為（p，1）時(shí)，四邊形ABCD是矩形，試求p，α，和m的值；
②觀察猜想：對(duì)①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)？（不必說(shuō)理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）①把點(diǎn)B（p，1）代入y=

3

x

，即可求出p的值；過(guò)B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出tanα的值，得出α的度數(shù)；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)進(jìn)行的對(duì)角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；②當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)B（x，

3

x

），則x＞0，由OB=2，得出x²+

3

x2

=4，解此方程，得x=±1或±

3

，滿足條件的x的值有兩個(gè)，故能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有兩個(gè)；
（3）假設(shè)四邊形ABCD為菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形．

解答：解：（1）平行四邊形（3分）

（2）①∵點(diǎn)B（p，1）在y=

3

x

的圖象上，
∴1=

3

p

，
∴p=

3

．（4分）
過(guò)B作BE⊥x軸于E，則OE=

3

，BE=1
在Rt△BOE中，tanα=

BE

OE

=

1

3

=

3

3

α=30°，（5分）
∴OB=2．
又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，（6分）
∴OB=OD=2．
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2（7分）
∴m=2；（8分）
②能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)；（9分）

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分）
若四邊形ABCD為菱形，則對(duì)角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0），
所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且AC在x軸上，（11分）
所以BD應(yīng)在y軸上，
這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，
所以四邊形ABCD不可能為菱形．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．