Question

我們容易發現：反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形，你可以利用這一結論解決問題。
如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點O逆時針旋轉α度角后的圖形，若它與反比例函數的圖象分別交于第一、三象限的點B，D，已知點A（-m，0）、C（m，0）。
（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是_______；
（2）①當點B為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，α，和m的值；
②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有幾個？（不必說理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標，若不能，說明理由。

Answer 1

解：（1）平行四邊形；
（2）①∵點B（p，1）在的圖象上， ∴ ∴， 過B作BE⊥x軸于E，則，BE=1， 在Rt△BOE中，，α=30°， ∴OB=2， 又∵點B、D是正比例函數與反比例函數圖象的交點， ∴點B、D關于原點O成中心對稱， ∴OB=OD=， ∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）  ∴， ∴m=2； ②能使四邊形為ABCD矩形的點B共有2個；
（3）四邊形ABCD不能是菱形， ∵點A、C的坐標分別為（-m，0）、（m，0） ∴四邊形ABCD的對角線AB在x軸上， 又∵點B、D分別是正比例函數與反比例函數在第一、三象限的交點， ∴對角線AC與BD不可能垂直， ∴四邊形ABCD不能是菱形。