Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：
①EF是△ABC的中位線．
②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；
③設OD=m，AE+AF=2n，則S_△AEF=mn；
④∠BOC=90°+

1

2

∠A；
其中正確的結論是

 

．

Answer 1

分析：由題意可對每個結論進行推理論證．①可假設是中位線推出矛盾結論．②可通過角平分線的性質得出O到三角形各邊的距離相等，連接AO分別表示出△AOE和△AOF的面積相加即可．③由EF∥BC、∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O可得EB=EO，FC=FO，EO和FO分時兩個圓的半徑，EF=EO+FO，推出外切．④由∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），又∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A），通過等量代換得出結論．

解答：解：①∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，∠COF=∠BCO，
又，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，
∴EB=EO，FC=FO，
假設EF是△ABC的中位線，則EA=EB，FA=FC，
∴EO=EA，FO=FA，
∴EA+FA=EO+FO=EF，
推出在△AEF中兩邊之和等于第三邊，不成立，所以①結論不正確．
②由①得EB=EO，FC=FO，
即EO，FO分別為兩圓的半徑，又EF=EO+FO，所以兩圓外切，
所以②正確．
③連接AO，過O作OG⊥AB于G，
由，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
得：OG=OD=m，
所以三角形AEF的面積=三角形AOE的面積+三角形AOF的面積
=

1

2

•AE•OG+

1

2

•AF•OD=

1

2

（AE•m+AF•m）=

1

2

m（AE+AF）
=

1

2

m•2n=mn．
所以③正確．
④由，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O得：
∠CBO=

1

2

∠ABC，∠BCO=

1

2

∠ACB，
∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A．
所以④正確．
故答案為：②③④．

點評：此題考查的知識點是切線的判定、三角形中位線定理，解題的關鍵是由題意可對每個結論進行推理論證．