Question

如圖：AB和CD是兩堵和地面BC垂直的墻，兩堵墻之間的距離是14米，一個10米長的梯子下端支在地面上某點，上端靠在墻上．
（1）梯子上端靠在AB上一點E處，梯子與地面的夾角∠EMB=60°，保持下端M點不變，把梯子上端靠在CD上一點F處，梯子與地面的夾角∠FMC的正切值等于多少？
（2）如果把梯子下端固定在地面上某一點N處時，可以使梯子上端靠墻AB和靠墻CD得到的兩個三角形全等，求這時BN的長度．

Answer 1

解：（1）在Rt△EBM中，
∵∠EMB=60°，EM=10，
∴cos60°=，
BM=EMcos60°=10×=5，
∴MC=14-5=9（m），
∵FM=10，
∴FC==，
∴tan∠FMC=；
答：梯子與地面的夾角∠FMC的正切值等于；

（2）當(dāng)BN=NC時，EN=FN=10，
在Rt△EBN和Rt△FCN中，
∵，
∴Rt△EBN≌Rt△FCN（HL），
此時N為BC中點，故BN=7，
當(dāng)BN=FC時，
在Rt△EBN和Rt△NCF中，
∵，
∴Rt△EBN≌Rt△NCF（HL），
設(shè)BN=x，則NC=14-x，F(xiàn)C=x，
∵FN ²=NC ²+FC ²，
∴10 ²=（14-x）²+x ²，
解得：x₁=6，x₂=8，
故BN=6或8．
綜上所述：BN的長為6，7，8時，可以使梯子上端靠墻AB和靠墻CD得到的兩個三角形全等．
分析：（1）利用cos60°=，求出BM的長，進而利用勾股定理求出FC，即可求出梯子與地面的夾角∠FMC的正切值；
（2）利用當(dāng)BN=NC時，當(dāng)BN=FC時根據(jù)全等三角形的判定分別求出BN的長即可．
點評：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用等知識，正確進行分類討論是解題關(guān)鍵．