Question

（2011•黔西南州）如圖，將邊長為4cm的正方形ABCD繞頂點C順時針方向旋轉30°，得到正方形EFCG，且EF交AD于點H．
（1）求證：DH=HF；
（2）求四邊形CDHF的面積．

Answer 1

分析：（1）由將邊長為4cm的正方形ABCD繞頂點C順時針方向旋轉30°，利用HL易證得Rt△CFH≌Rt△CDH，即可得DH=HF；
（2）由Rt△CFH≌Rt△CDH，可得∠FCH=∠DCH，易求得∠FCH=30°，然后求得FH的長，繼而求得四邊形CDHF的面積．

解答：（1）證明：連接CH，
根據題意得：∠F=∠D=90°，CF=CD，
∵在Rt△CFH和Rt△CDH中，

CF=CD CH=CH

，
∴Rt△CFH≌Rt△CDH（HL），
∴DH=HF；

（2）解：∵Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴∠FCH=∠DCH，
由旋轉的性質得：∠BCF=30°，
∴∠FCD=90°-∠BCF=60°，
∴∠FCH=

1

2

∠FCD=30°，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴CF=4，
∴FH=CF•tan30°=4×

3

3

=

4 3

3

，
∴S_△CDH=S_△CFH=

1

2

×FH×CF=

1

2

×

4 3

3

×4=

8 3

3

，
∴S_{四邊形CDHF}=S_△CDH+S_△CFH=

16 3

3

．

點評：此題考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角新的判定與性質以及特殊角的三角函數值．此題難度適中，注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．