Question

（2006•萊蕪）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D，E在直線BC上運動．設BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數關系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當α，β滿足怎樣的關系時，（1）中y與x之間的函數關系式還成立？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的性質得∠ABD=∠ACE=105°，利用等量代換求得∠CAE=∠ADB，故△ADB∽△EAC后，得，即所以y=；
（2）要使y=，即成立，則要△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只須∠ADB=∠EAC，利用三角形的內角和和鄰補角的概念求得∠EAC+∠BAD=β-α，∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-，所以只90°-=β-α，須即β-=90°．
解答：解：（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°，
∵∠DAE=105°，
∴∠DAB+∠CAE=75°，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴
即，所以y=；

（2）當α、β滿足關系式β-時，函數關系式y=成立，
理由如下：∵β-=90°，
∴β-α=90°-．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°--∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴，
∴，
∴y=．
點評：本題利用了等腰三角形的性質，三角形的內角和，鄰補角的概念，相似三角形的判定和性質求解．