Question

如圖所示，⊙I是Rt△ABC（∠C=90°）的內切圓，⊙I和三邊分別切于點D，E，F．
（1）求證：四邊形IDCE是正方形；
（2）設BC=a，AC=b，AB=C，求內切圓I的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質即可證明是一個矩形，再根據一組鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；
（2）根據切線長定理即可列方程求解．

解答：證明：（1）∵BC，AC與⊙I相切于D，E，
∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°，
∴四邊形IDCE為矩形，
又∵IE=ID，
∴矩形IDCE是正方形．

（2）由（1）得CD=CE=r，
∴a+b=BD+AE+2r=BF+AF+2r=c+2r，
∴r=

1

2

（a+b-c）．

點評：掌握直角三角形內切圓半徑的公式以及公式的推導過程．