Question

（12分）如圖，在中，，，，動點（與點不重合）在邊上，交于點．

（1）當的面積與四邊形的面積相等時，求的長；

（2）當的周長與四邊形的周長相等時，求的長；

（3）試問在上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出的長．

Answer 1

（1）CE＝；

（2）CE的長為；

（3）在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，此時EF＝或EF＝

【解析】

試題分析：（1）因為EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題；

（2）根據周長相等，建立等量關系，列方程解答；

（3）先畫出圖形，根據圖形猜想P點可能的位置，再找到相似三角形，依據相似三角形的性質解答．

試題解析：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等

∴S△ECF:S△ACB＝1:2

又∵EF∥AB　　∴△ECF∽△ACB.

且AC＝4

∴CE＝；

（2）設CE的長為x

∵△ECF∽△ACB ∴ ∴CF=.

由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等，得

解得

∴CE的長為；

（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：

①如圖1，假設∠PEF＝90°，EP＝EF

由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°

∴Rt△ACB斜邊AB上高CD＝

設EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即，

解得，即EF＝，

當∠EFP?＝90°，EF＝FP?時，同理可得EF＝.

②如圖2，假設∠EPF＝90°，PE＝PF時，點P到EF的距離為。

設EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即，

解得，即EF＝，

綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，

此時EF＝或EF＝.

考點：相似三角形的判定與性質．