Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先計算出△=1，然后根據判別式的意義即可得到結論；
（2）先利用公式法求出方程的解為x₁=k，x₂=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．
解答：（1）證明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的解為x=，即x₁=k，x₂=k+1，
當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；
當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，
所以k的值為5或4．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質．