Question

11．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B兩點，點B的坐標為（-4，-2），C為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一點，且在第一象限內，若△AOC的面積為6，則點C的坐標為（　　）

• A． （2，4）
• B． （1，8）
• C． （2，4）或（1，8）
• D． （2，4）或（8，1）

Answer 1

分析 首先利用待定系數法即可解決．過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，根據S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE=6，列出方程即可解決．

解答 解：∵點B（-4，-2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{k}{-4}$=-2，
∴k=8，
∴雙曲線的函數解析式為y=$\frac{8}{x}$．
過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，
∵正比例函數與反比例函數的交點A、B關于原點對稱，
∴A（4，2），
∴OE=4，AE=2，
設點C的坐標為（a，$\frac{8}{a}$），則OF=a，CF=$\frac{8}{a}$，
當a＜4時，則S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{16-{a}^{2}}{a}$，
∵△AOC的面積為6，
∴$\frac{16-{a}^{2}}{a}$=6，
整理得a²+6a-16=0，
解得a=2或-8（舍棄），
∴點C的坐標為（2，4）．
當a＞4時，則S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（a-4）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{{a}^{2}-16}{a}$，
∵△AOC的面積為6，
∴$\frac{{a}^{2}-16}{a}$=6，
整理得a²-6a-16=0，
解得a=-2（舍去）或8，
∴點C的坐標為（8，1）．
故選D．

點評 本題考查反比例函數與一次函數交點、解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會利用分割法求四邊形面積，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．