Question

某公司試銷一種成本單價為400元/件的新產品，規定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于800元/件，經試銷調查，發現銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）可近似的看作一次函數y=kx+b的關系．
（1）根據圖象，求一次函數的表達式．
（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本價）為S元．
①試用銷售單價x表示毛利潤S；
②試問：銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤，最大毛利潤是多少？此時的銷售量是多少？

Answer 1

解：（1）將（600，400）和（700，300）代入一次函數得k=-1，b=1000．
則一次函數表達式為：y=-x+1000；

（2）①當銷售價為x時，由第一問得此時銷售總量為：-x+1000，
則銷售總價為：（-x+1000）x，成本價為：（-x+1000）×400；
所以毛利潤為：S=（-x+1000）x-（-x+1000）×400=-x²+1400x-40000（400＜x＜800）．
②將①得到的S的表達式化簡為：S=-（x-700）²+90000；
則當x=700時，S有最大值，所以當x=700時S的取值最大為：90000．
分析：（1）根據圖象可得：一次函數圖象上有兩個已知點（600，400），（700，300），將這兩個點代入一次函數即可得到一次函數的表達式．
（2）①分別算成銷售總價和成本價，然后用毛利潤=銷售總價-成本價得到x與s的表達式．
②根據二次函數的性質和自變量x的取值范圍得到函數值S的變換情況，然后得出S的最大值．
點評：本題屬于數形結合的題，解題的關鍵是讀懂題意和從圖象中得到重要信息．對于本題從圖象中可得到一次函數上的兩個已知點，從而可以得到一次函數表達式．第二問中根據第一問得到的數量關系分別求出總銷售價和總成本價，然后得到總利潤．